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第 23 题
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图 1 中有四条优美的＂螺旋折线＂，它们是怎样画出来的呢？如图 2，在正方形 A B C D 各边上分别取点
B
1
,
C
1
,
D
1
,
A
1
B_{1}, C_{1}, D_{1}, A_{1}
B
1
,
C
1
,
D
1
,
A
1
，使
A
B
1
=
B
C
1
=
C
D
1
=
D
A
1
=
4
5
A
B
A B_{1}=B C_{1}=C D_{1}=D A_{1}=\frac{4}{5} A B
A
B
1
=
B
C
1
=
C
D
1
=
D
A
1
=
5
4
A
B
，依次连接它们，得到四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}
A
1
B
1
C
1
D
1
；再在四
边形
A
1
B
1
C
1
D
1
A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}
A
1
B
1
C
1
D
1
各边上分别取点
B
2
,
C
2
,
D
2
,
A
2
B_{2}, C_{2}, D_{2}, A_{2}
B
2
,
C
2
,
D
2
,
A
2
，使
A
1
B
2
=
B
1
C
2
=
C
1
D
2
=
D
1
A
2
=
4
5
A
1
B
1
A_{1} B_{2}=B_{1} C_{2}=C_{1} D_{2}=D_{1} A_{2}=\frac{4}{5} A_{1} B_{1}
A
1
B
2
=
B
1
C
2
=
C
1
D
2
=
D
1
A
2
=
5
4
A
1
B
1
，依次连接
它们，得到四边形
A
2
B
2
C
2
D
2
;
⋯
A_{2} B_{2} C_{2} D_{2} ; ~ \cdots
A
2
B
2
C
2
D
2
;
⋯
如此继续下去，得到四条螺旋折线．
图 1 （1）求证：四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}
A
1
B
1
C
1
D
1
是正方形； （2）求
A
1
B
1
A
B
\frac{A_{1} B_{1}}{A B}
A
B
A
1
B
1
的值； （3）请研究螺旋折线
B
B
1
B
2
B
3
…
B B_{1} B_{2} B_{3} \ldots
B
B
1
B
2
B
3
…
中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
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